有形状的数

    最早把自然数和几何图形联系在一起的，也是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把自然数与正三角形、正方形、正五边形……等图形联系起来，将数分为三角数、正方形数、五角数……

    毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做五边形数……　

    毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数。有趣的是，他还进一步发现了各种“形数”之间的内在联系。比如，每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻的三角形数的和。

    4＝1＋3， 9＝3＋6， 16＝6＋10，……

    反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。

    这从下面的图形中可以得到证实。

    毕达哥拉斯借助生动的几何直观还发现，第n个三角形数等于1＋2＋…人们就可以写出很多很多的形数了。

    不过，毕达哥拉斯并不因此而满足。譬如三角形数，需要一个数一个数地相加，才能算出一个新的三角形数。毕达哥拉斯认为这太麻烦了，于是着手去寻找一种简捷的计算方法。经过深入探索自然数的内在规律，他又发现，
    这是一个重要的数学公式，有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。

    毕达哥拉斯还摆成一种“馨折形”的数。他先在正方形格子里放上石子，放的方法是最上面一行和最左边一列都按1、2、3、……来放石子。其他空格中的石子数，等于对应的最上面一行和最左边一列两格石子数的积。然后把正方形格分割成若干个拐角形，这种拐角形就叫“馨折形”。　

    他发现，每一个馨折形中所有数的和一定是一个立方数：

    1＝13，

    2＋4＋2＝8＝23，

    3＋6＋9＋6＋3＝27＝33.

    公元前6世纪，还没有纸。用小石子来研究数的性质，又方便又直观，这真是古希腊人的一种创造！也是认识数的一种有趣方法。英语中的“计算”（calculation）一词来源于拉丁字“calculus”，是小石子的意思。

    想想练练

    1.摆出前四个六边形数。

    2.第n个六边形数等于多少？

    3.1＋2＋3＋…＋7＝？

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