斐波那契是13世纪初欧洲最好的数学家，他生活在意大利的比萨城。那里气候温和，阳光明媚，雨水充足，附近的农牧业都很发达。
一天，斐波那契到外面散步，看到院子里有个男孩在用萝卜喂兔子。红眼睛、长耳杂的白兔很可爱，斐波那契站在那里看了好大一会儿。
几个月后，斐波那契散步又到那里，发现院子里不再是一对兔子，而是大大小小好多只兔子了。斐波那契问道：“你又买了些兔子吗？”那男孩回答：“没有，这些兔子都是原来那对兔子生的。”
“一对兔子能繁殖这么多吗？”斐波那契感到吃惊。
那男孩又说：“兔子繁殖可快了，每个月都要生一次小兔子，并且小兔子出生两个月后，就能够再生小兔子了。”
“噢，原来是这样的。”斐波那契明白了一些。
回家以后，斐波那契又想到了那些兔子，“那么，这些兔子一年之内到底能生多少呢？”他给自己出了这样一道题：
假如一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对小兔子生下后第二个月又开始生小兔。假定一年内没有死亡，一对兔子一年内可繁殖成几对？
斐波那契是这样考虑的：
第一个月，买来一对刚刚出生的小兔。
第二个月，还是一对。不过要注意，小兔已经成年，下一个月它们就可以当爸爸、妈妈了。
第三个月，这对小兔长大了，生了一对小兔。这样，就有两对了。
第四个月，其中一对老兔子又生了一对小兔，还有一对成年兔，一共是3对。如图1（○表示一对小兔，●表示成年兔，下同）。
第五个月，其中的两对各生了一对兔子。总数是5对。如图2。
第六个月，共有8对兔子。如图3。
从图中可以看出，自第三个月开始，某个月●的数恰好等于它一个月兔子的对数，○的数又恰好等于它上两个月兔子的对数。例如，第六个月，有5个●，3个○，而第五个月共5对兔子，第四个月共有3对兔子。这就是说，每个月兔子的对数，都恰恰是它前面的两个月兔子对数的和。
继续画下去，这个规律还成立吗？
是的，仍然成立。根据这个规律，可以算出以后任何一个月份共有几对兔子。
第七个月时，5+8=13，
第八个月时，8+13=21，
第九个月时，13+21=34，
……
把一年内各个月兔子的对数排成一列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
可以知道，到第十二个月后，将会有144对兔子。
斐波那契很高兴这个有趣的发现，并把它写入《算盘书》。
依照某种规律排列着的一连串数叫做数列。人们把上面的那一列数，叫做斐波那契数列。人们还发现了这个数列的一些奇特的性质。
美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后对他讲：“很遗憾，兰迪先生，您是伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13×13=169，而8×21=168，这怎么能办得到呢？”兰迪说：“我亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块（图4）。”
奥马尔照他所说的那样做了。尔后，兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯（图5）。
奥马尔想：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方分米列哪里去了呢？”
我们仔细观察兰迪先生的两个图形，不难发现，将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发生了微小的重迭。正是沿着对角线的这点迭合，导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试试。
上面两个图形中涉及到的四个长度数：5、8、13、21都是斐波那契数，并且132=8×21+1，82=5×13-1.多做几次上述的实验，就可以发现斐波那契数列一个有趣而重要的性质：
任何一项的平方，等于它前后两项的乘积，加上或减去1。项数是偶数时减1，项数是奇数时加1。
斐波那契数列在实际生活中有着广泛而有趣的应用。除了动物的繁殖外，植物的生长也与斐波那契数列有关。
据说，德国天文学家、数学家开普勒（1571-1630）对植物的“叶序”（叶子、花、果的排列方式）很感兴趣。他观察了很多种植物，发现对同一种植物来说，有一定的规则。
为了把问题说清楚，我们先介绍“母线”和“周期”两个概念。
我们知道，植物的茎大体上近似于圆柱形，而圆柱形可以看作是矩形ABCD绕它的一边AB（轴）旋转一周时，另一边CD所生成的曲面（如图6）。这个曲面上平行于轴AB的线段叫做圆柱的母线。
观察发现，植物的叶子在茎上都是按螺旋状周而复始地排列的。我们把从某一条母线上有生长叶子处出发，依叶子的排序，再回到这条母线上有叶子的位置（这条母线上两叶之间再没有叶子）就叫做一个周期。
如图6，在CD这条母线上，D、K处生长叶子（中间没有），而从D到K的螺旋线上还有E、F两处生长叶子。在从D到K的这个周期里，绕过的圈数称为“周期圈数”（图中为2）；而这个周期里的叶子数叫周期叶数（算头不算尾）（图中为3），那么
可以反映叶子分布规律（相邻两片叶子间的角度）。
开普勒发现
把这些分数排列起来，为
不难发现，它的分子、分母各自都构成斐波那契数列。
真是天然成趣，耐人寻味！
从古希腊到现在，都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有重要应用的“黄金率”，也和斐波那契数列有密切关系。实际上，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，就很接近0.618。
由于斐波那契数列在许多方面都有重要应用，所以美国数学会出版了一本杂志叫《斐波那契季刊》，专门研究这个数列的性质和应用。
想想练练
1.请将文中的图3继续画下去，画出第9个月兔子的对数。
2.不看图，写出斐波那契数列的前20项，并任选其中三个相邻的项，验证：中间项的平方，等于前后两项的乘积，加上或减去1。
3.试设计一个能产生斐波那契数列的问题，或寻找一个能用斐波那契数列解释的现象。
关键字标签: 斐波那契
