西尔维斯特问题

    数学史上有这样一件趣事，名流权威所不能解决的问题，却被“无名小卒”解决了，这就是西尔维斯特问题。

    西尔维斯特 (1814 —1897) 是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想( 即西尔维斯特问题) ：平面上给定n个点(n≥3) 。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。

    这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50 年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。

    用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A 、B、C 、D是其中的4个点，B 、C 、D在同一条直线上，而且A 到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的。

    不妨设D在B 、C 之间，D 到AB 、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有 h1AB+h2AC>h(AB+AC) >hBC 。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。