庞加莱猜想

    “庞加莱猜想”（Poincaré Conjecture）是法国著名数学家亨利－庞加莱在1904年所发表的一组论文中所提出来的，当时他认为：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”后又被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。” 

    “庞加莱猜想”的具体内容是：“如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是”单连通的“，而轮胎面不是。”大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，而三维的情况一直以来困扰着全世界的数学家们为之不懈的奋斗。 

    亨利－庞加莱（Henri Poincaré）的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。 

    在数学界“庞加莱猜想”只是众多未解难题之一，但是也是被视为最复杂抽象的挑战之一。美国麻省理工大学克莱数学研究所2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事，该机构设立了七个被称为“千僖年数学难题”巨奖，为每道难题悬赏奖金一百万美元。这七大七大千年难题是：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题；霍奇（Hodge）猜想；庞加莱（Poincare）猜想；黎曼（Riemann）假设；杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口；纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性；贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想。 

    “庞加莱猜想”是代数拓扑学的基本命题，据介绍代数拓扑学是当代数学界最具活力的领域之一，而对“庞加莱猜想”的证明则将会对数学界流形性质的认识、甚至是用数学语言描述宇宙空间产生重要的影响。

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