芝诺悖论

    公元前5世纪，芝诺为了捍卫他老师巴门尼德的学说，用他关于无限、连续及部分和等知识，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。他的悖论在亚里士多德的《物理学》里被概括为以下四个：二分法、阿喀琉斯、飞矢不动、运动场。

（一）二分法

    悖论：物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

    例如：一位旅行者步行前往一个特定的地点。他必须先走完一半的距离，然后走剩下距离的一半，然后再走剩下距离的一半，永远有剩下部分的一半要走。因而这位旅行者永远走不到目的地！

（二）阿基里斯

    悖论：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

    故事：在阿基里斯和乌龟之间展开一场比赛。乌龟在阿基里斯前头1000米开始爬，但阿基里斯跑得比乌龟快10倍，比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍然在他前头100米。而当阿基里斯又跑了100米到达乌龟前此到达的地方时，乌龟又向前爬了10米。芝诺争辩说，阿基里斯将会不断地逼近乌龟，但他永远无法赶上它。

（三）飞矢不动

    悖论：任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。

    解释：箭在运动过程中的任一瞬间时必在一个确定位置上，即是静止的，而时间是由无限多个瞬时组成的，因此箭就动不起来了。

（四）运动场

    悖论：两列物体B、C相对于一列静止物体A相向运动，B越过A的数目是越过C的一半，所以一半时间等于一倍时间。

    芝诺悖论后来因遭亚里士多德的批驳而逐渐湮没无闻，直到19世纪下半叶才再度引起学者们的注意和研究，并给予重新评价。在公元前4世纪，芝诺悖论虽然受到亚里士多德的貌似有理的批驳，但其实并没有驳倒，并没有缓和数学思想所受到的震荡。

    芝诺悖论深刻地揭示了有限与无限、连续与离散之间的矛盾，并首次试图以辩证观点分析这些矛盾，从而在数学史上享有不朽的价值。芝诺的悖论还促进了希腊人对数学严密思维的追求，为了做到这一点，他们宁愿放弃一时难以严密的代数，而把全部精力投注于建立几何学严密体系的努力中，其结果是欧几里得《几何原本》的刻意追求严格性。又如，平行公理形似定理又不是定理，在解决此悖论的过程中导致非欧几何的产生。正方形对角线与边长之比应该是一个数，但又不是一个（人们当时所理解的）数，从而引出了无理数。